ไซแลบ ติวเตอเรียล 6 ทำงานกับโพลิโนเมียล

ไซแลบติวเตอเรียล 6 ทำงานกับโพลีโนเมียล



ไซแลบสนับสนุนสำหรับการดำเนินการกับโพลีโนเมียล เราสามารถสร้างโพลีโนเมียล หารากของโพลีโนเมียลดำเนินการเช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร การลดรูปให้ง่าย และอื่นๆ   โพลีโนเมียลหนึ่งๆ สามารถสร้างได้ในสองลักษณะ ทางหนึ่งโดยการกำหนดโพลีโนเมียลในเทอมของรากของโพลีโนเมียล และในอีกทางหนึ่งกำหนดในเทอมของสัมประสิทธิ์ของโพลีโนเมียล  ขณะที่สร้างโพลีโนเมียลขึ้นมานั้น  จะต้องเลือกชื่อสำหรับตัวแปรสัญลักษณ์ และระบุว่าโพลีโนเมียลที่จะสร้างในเทอมของรากหรือในเทอมของสัมประสิทธิ์  ชื่อตัวแปรสัญลักษณ์สามารถที่จะมีความยาวใดๆ แต่เฉพาะ 4 ตัวอักขระแรกที่มีนัยสำคัญ ส่วนตัวอักขณะอื่นไม่นำมาคิด


-->p1 = poly([3 2], 'x')  หรือ

-->p1 = poly([3 2], 'x', 'r')

 การสร้างโพลีโนเมียล p1 มีราก 3 และ 2  โดยมีชื่อตัวแปรสัญลักษณ์s x.  โพลีโนเมียลที่ได้คือ

             p1 = 6 - 5x + x²

-->p2 = poly([6 -5  1], 'x', 'c')

การสร้างโพลีโนเมียล p2 มีสัมประสิทธิ์ 6−5 x +x² ,  คิดให้ชื่อตัวแปรสัญลักษณ์เป็น x  โพลีโนเมียลที่ได้คือ

             p2 = 6−5 x + x² .

 พารามีเตอร์ที่ 3 ที่ให้ไว้อาจเป็น  'r' หรือราก ( 'roots')  ซึ่งเป็นกรณีที่พารามีเตอร์แรก คือเว็คเตอร์ที่มีรากของโพลีโนเมียล   หรืออาจจะเป็น 'c' หรือสัมประสิทธ์ ('coeff')  อันเป็นกรณีซึ่งพารามีเตอร์แรกคือเว็คเตอร์ที่มีสัมประสิทธิ์ของโพลีโนเมียล  เริ่มจากตัวคงที่เป็นเหมือนองค์ประกอบแรก  และกำลังของตัวแปรสัญลักษณ์เพิ่มขึ้นทีละ ของแต่ละองค์ประกอบในเว็คเตอร์   ดังนั้นโพลีโนเมียลที่มี 2 ราก คือโพลีโนเมียลลำดับสอง  เมื่อองค์ประกอบที่ 3 ยังไม่ได้จัดให้ จะให้ค่าปริยาย 'r' หรือ 'roots'. 
 
เป็นไปได้ที่จะดำเนินการ จำนวนการดำเนินการต่างต่อโพลีโนเมียล เช่นการหากราก การบวก การลบ การคูณ การหาร การทำให้ง่าย 


-->p1 = poly([6 -5 1], 'x')
p1 =
6 – 5x + x²

-->roots(p1)
ans =
2.
3.

             การสร้างโพลีโนเมียล p1 ที่มีสัมประสิทธิ์  6, -5  และ 1, ให้ชื่อตัวแปรสัญลักษณ์เป็น x.
โพลีโนเมียลที่ได้คือ p1 = 6−5x+x² .   การหาค่าคารากโดยการใช้ฟังก์ชัน roots(p1).

-->p3 = p1 + p2
p3 =
12 – 10x + 2x²
เมื่อบวกสองโพลีดนเมียล p1 และ p2 เข้าด้ยกัน และเก็บผลลัพธ์ในโพลีโนเมียล p3. การลบสามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน


-->p4 = p1 * p2
p4 =
6 – 60x  37x² – 10x³ + x⁴


 ผลคูณของโพลีโนเมียลก็ยังคงเป็นโพลีโนเมียล และคำนวณโดยให้เครื่องหมายกระทำคูณ (*).

-->p5 = p1 / p2
p5 =
1
-
1
-->typeof(p5)
ans =
rational


             การหารโพลีโนเมียลด้วยโพลีโนเมียลอื่น ให้ผลไม่ใช่เป็นโพลีโนเมียล แต่เป็นสัดส่วน (rational)

-->p1 == p2
ans =
T


สามารถทำงานด้วยการดำเนินการบูลีนกับโพลีโนเมียล


-->coeff(p1)
ans =
6. -5. -1.

การหาสัมประสิทธิ์ของโพลีโนเมียลp1.
-->derivat(p1)

ans =
-5 + 2x

การหาอนุพันธ์ของโพลีโนเมียล p1.

-->c = companion(p1)
c =
5    -6
1     0

เมทริกซ์ใกล้เคียง (Companion matrix) ของโพลีโนเมียล คือเมทริกซ์ซึ่งคุณลักษณะสมการคือโพลีดนเมียลที่กำหนด
-->roots(p1)'
ans =
2. 3.
-->spec(c)
ans =
3.
2.
รากของสมการตามคุณลักษณะคือค่าไอเกนของเมทริกใกล้เคียง(companion matrix) 

             
ยังมีแนวทางอื่นๆ ที่กำหนดโพลีโนเมียล.

-->x = poly(0, 'x')
x =
x

             สร้างตัวแปรชื่อ x, ซึ่งคือโพลีโนเมียลที่มีองศาเป็นศูนย์ ตัวแปร x สามารถใช้เป็น seed ในการสร้างโพลีโนเมียลอื่นๆ

-->p6 = 6 – 5 * x + x^2
-->roots(p6)
ans =
2.
3.

             การสร้างโพลีโนเมียล p1 เป็นไปในแนวทางเดียวกับที่จะเขียนบนกระดาษด้วยมือ นี่จะเหมือนกับดโพลีโนเมียลที่แล้ว p1 และ  p2 ที่ได้สร้างขึ้น

-->c=[5 -6; 1 0];
-->p7 = poly(c, 'x')
             การสร้างโพลีโนเมียลจากเมทริกซ์ใกล้เคียง
p7 =
6 – 5x + x^2
             ให้พิจารณาโพลีโนเมียลอย่างมีเหตุผลและสำรวจฟังก์ชันที่สัมพันธกัน
-->x = poly(0, 'x')
-->p=(1+2*x+3*x^2)/(4+5*x+6*x^2)
p =
2
1 + 2x + 3x
-----------
2
4 + 5x + 6x

Create the variable x as a polynomial

of degree 0, thus creating a seed for

a polynomial in x.

             การสร้างโพลีโนเมียล p ด้วยเศษ(numerator) คือ 12 x3 x2 และส่วน (denominator)  45 x6 x2 .

-->numer(p)

ans =

2

1 + 2x + 3x

-->denom(p)

ans=

2

4 + 5x + 6x

             สะกัดเศษและส่วนของโพลีโนเมียลแบบสัดส่วน( rational polynomial)

-->derivat(p)

ans =

2

3 + 12x + x

-------------------------

2 3 4

16 + 40x + 73x +60x + 36

             จงหา อนุพันธ์ของโพลีโนเมียลแบบสัดส่วน (rational polynomial)

-->[n, d]=simp((x+1)*(x+2),

(x+1)*(x-2))

d =

-2 + x

n =

2 + x

ทำโพลีโนเมียลให้ง่าย โดยกำหนดเศษและส่วนของโพลีโนเมียลสัดส่วน คืนกลับเศษและส่วนหลังจากการทำให้ง่าย

Exercise 6 – ทำงานกับโพลีโนเมียล

1. จงสร้างโพลีโนเมียลโดยใช้ x เป็นตัวแปรสัญลักษณ์ โดยมีรากเป็น 2 และ 3.

(Ans: p = poly([2 3], 'x')).

2. จงสร้างโพลีโนเมียลที่แสดงด้วย 6 – 5x + x2?

(Ans: p = poly([6 -5 1], 'x', 'coeff'))

3. จงหารากของโพลีโนเมียลนี้ (Ans: 2 and 3).

4. ตัวกระทำใดที่สามารถดำเนินการได้กับโพลีโนเมียล?

(Ans: สามารถดำเนินการ การบวก การลบ การคูณ และการหาร กับโพลีโนเมียล การดำเนินการเหล่านี้ยอมให้โพลีโนเมียลที่จัดให้มีตัวแปรสัญลักษณ์เดียวกัน แต่การดำเนินการเลช่นตรีโกณมิติ ล็อกการิธึมไม่สามารถใช้ได้)