ใช้งานโพลีโนเมียล ไซแลบติวเตอร์เรียล 6

ไซแลบติวเตอเรียล 6 
ทำงานกับโพลีโนเมียล



ไซแลบสนับสนุนสำหรับการดำเนินการกับโพลีโนเมียล เราสามารถสร้างโพลีโนเมียล หารากของโพลีโนเมียล สามารถดำเนินการเช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร การลดรูปให้ง่าย และอื่นๆ   โพลีโนเมียลหนึ่งๆ สามารถสร้างได้ในสองลักษณะ ทางหนึ่งโดยการกำหนดโพลีโนเมียลในเทอมของรากของโพลีโนเมียล และในอีกทางหนึ่งกำหนดในเทอมของสัมประสิทธิ์ของโพลีโนเมียล  ขณะที่สร้างโพลีโนเมียลขึ้นมานั้น  จะต้องเลือกชื่อสำหรับตัวแปรสัญลักษณ์ และระบุว่าโพลีโนเมียลที่จะสร้างในเทอมของรากหรือในเทอมของสัมประสิทธิ์  ชื่อตัวแปรสัญลักษณ์สามารถที่จะมีความยาวใดๆ แต่เฉพาะ 4 ตัวอักขระแรกที่มีนัยสำคัญ ส่วนตัวอักขณะอื่นไม่นำมาคิด

-->p1 = poly([3 2], 'x')  หรือ

-->p1 = poly([3 2], 'x', 'r')

     การสร้างโพลีโนเมียล p1 มีราก 3 และ 2  โดยมีชื่อตัวแปรสัญลักษณ์ x.  โพลีโนเมียลที่ได้คือ

     p1 = 6 - 5x + x²

-->p2 = poly([6 -5  1], 'x', 'c')

     การสร้างโพลีโนเมียล p2 มีสัมประสิทธิ์ 6−5 x +x² ,  คิดให้ชื่อตัวแปรสัญลักษณ์เป็น x  โพลีโนเมียลที่ได้คือ

      p2 = 6−5 x + x² .

 พารามีเตอร์ที่ 3 ที่ให้ไว้อาจเป็น  'r' หรือราก ( 'roots')  ซึ่งเป็นกรณีที่พารามีเตอร์แรก คือเว็คเตอร์ที่มีรากของ 
โพลีโนเมียล   หรืออาจจะเป็น 'c' หรือสัมประสิทธ์ ('coeff')  อันเป็นกรณีซึ่งพารามีเตอร์แรกคือเว็คเตอร์ที่มีสัมประสิทธิ์ของโพลีโนเมียล  เริ่มจากตัวคงที่เป็นเหมือนองค์ประกอบแรก  และกำลังของตัวแปรสัญลักษณ์เพิ่มขึ้นทีละ ของแต่ละองค์ประกอบในเว็คเตอร์   ดังนั้นโพลีโนเมียลที่มี 2 ราก คือโพลีโนเมียลลำดับสอง  เมื่อองค์ประกอบที่ 3 ยังไม่ได้จัดให้ จะให้ค่าปริยาย 'r' หรือ 'roots'. 

เป็นไปได้ที่จะดำเนินการ จำนวนการดำเนินการต่อโพลีโนเมียล เช่นการหากราก การบวก การลบ การคูณ การหาร การทำให้ง่าย 

-->p1 = poly([6 -5 1], 'x')     
p1 =
       6 – 5x + x²

-->roots(p1)
ans =
         2.
         3.
       การสร้างโพลีโนเมียล p1 ที่มีสัมประสิทธิ์  6, -5  และ 1, ให้ชื่อตัวแปรสัญลักษณ์เป็น x. 
      โพลีโนเมียลที่ได้คือ p1 = 6−5x+x² .   การหาค่าคารากโดยการใช้ฟังก์ชัน roots(p1).

-->p3 = p1 + p2
p3 =
     12 – 10x + 2x²


เมื่อบวกสองโพลีโนเมียล p1 และ p2 เข้าด้วยกัน และเก็บผลลัพธ์ในโพลีโนเมียล p3. การลบสามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน

-->p4 = p1 * p2
p4 =
      6 – 60x  37x² – 10x³ + x⁴

 ผลคูณของโพลีโนเมียลก็ยังคงเป็นโพลีโนเมียล และคำนวณโดยให้เครื่องหมายกระทำคูณ (*).

-->p5 = p1 / p2
p5 =
     1
     -
     1
-->typeof(p5)
ans =
       rational
       การหารโพลีโนเมียลด้วยโพลีโนเมียลอื่น ให้ผลไม่ใช่เป็นโพลีโนเมียล แต่เป็นสัดส่วน (rational)

-->p1 == p2
ans =
       T
      สามารถทำงานด้วยการดำเนินการบูลีนกับโพลีโนเมียล

-->coeff(p1)
ans =
      6. -5. -1.
การหาสัมประสิทธิ์ของโพลีโนเมียลp1.

-->derivat(p1)

ans =
      -5 + 2x
การหาอนุพันธ์ของโพลีโนเมียล p1.

-->c = companion(p1)
c =
   5    -6
   1     0

    เมทริกซ์ใกล้เคียง (Companion matrix) ของโพลีโนเมียล คือเมทริกซ์ซึ่งคุณลักษณะสมการคือโพลีดนเมียล
   ที่กำหนด

-->roots(p1)'
ans =
      2. 3.
-->spec(c)
ans =
      3.
      2.
    รากของสมการตามคุณลักษณะคือค่าไอเกนของเมทริกเพื่อนใกล้เคียง(companion matrix) 
             
ยังมีแนวทางอื่นๆ ที่กำหนดโพลีโนเมียล.

-->x = poly(0, 'x')
    x =
        x
      สร้างตัวแปรชื่อ x, ซึ่งคือโพลีโนเมียลที่มีองศาเป็นศูนย์ ตัวแปร x สามารถใช้เป็น seed ในการสร้าง
     โพลีโนเมียลอื่นๆ

-->p6 = 6 – 5 * x + x^2
-->roots(p6)
ans =
      2.
      3.
     การสร้างโพลีโนเมียล p1 เป็นไปในแนวทางเดียวกับที่จะเขียนบนกระดาษด้วยมือ นี่จะเหมือนกับโพลีโนเมียลที่       แล้ว p1 และ  p2 ที่ได้สร้างขึ้น

-->c=[5 -6; 1 0];
-->p7 = poly(c, 'x')             
p7 =
      6 – 5x + x^2
      การสร้างโพลีโนเมียลจากเมทริกซ์ใกล้เคียง

             ให้พิจารณาโพลีโนเมียลอย่างมีเหตุผลและสำรวจฟังก์ชันที่สัมพันธกัน
-->x = poly(0, 'x')
-->p=(1+2*x+3*x^2)/(4+5*x+6*x^2)
p =
     1 + 2x + 3x^2
     ----------------
     4 + 5x + 6x^2

     สร้างตัวแปร x เป็นเหมือนโพลีโนเมียลที่มีดีกรีเป็น โดยวินาทีนี้ คือการสร้าง seed สำหรับโพลีโนเมียล อย่าง         หนึ่งภายใต้ x   การสร้างโพลีโนเมียล p  ด้วยส่วนเศษ(numerator) คือ 1+2 x+3 x2 และส่วนของส่วน                 (denominator)  4+5 x+6 x2 .

-->numer(p)
ans =
      1 + 2x + 3x^2

-->denom(p)
ans=
     4 + 5x + 6x^2          
    สะกัดเศษและส่วนของโพลีโนเมียลแบบแรทชันนอล(rational polynomial)

-->derivat(p)
ans =
       3 + 12x + x^2
      -------------------------

                        2       3      4
16 + 40x + 73x +60x + 36

             ให้หา อนุพันธ์ของโพลีโนเมียลแบบแรทชันนอล (rational polynomial)

-->[n, d]=simp((x+1)*(x+2),
(x+1)*(x-2))

d =

   -2 + x
n =

    2 + x

    การทำโพลีโนเมียลแบบแรทชันแนลที่ให้ง่าย โดยกำหนดเศษและส่วนของโพลีโนเมียลแบบแรทชันแนล คืน          กลับเศษและส่วนหลังจากการปรับทำให้ง่าย

แบบฝึกหัดที่ 6 – ทำงานกับโพลีโนเมียล

1. จงสร้างโพลีโนเมียลโดยใช้ x เป็นตัวแปรสัญลักษณ์ โดยมีรากเป็น 2 และ 3.
(Ans: p = poly([2 3], 'x')).


2. จงสร้างโพลีโนเมียลที่แสดงด้วย 6 – 5x + x2?
(Ans: p = poly([6 -5 1], 'x', 'coeff'))


3. จงหารากของโพลีโนเมียลข้างบนนี้ (Ans: 2 and 3).

4. ตัวกระทำใดที่สามารถดำเนินการได้กับโพลีโนเมียล?
(Ans: สามารถดำเนินการ การบวก การลบ การคูณ และการหาร กับโพลีโนเมียล การดำเนินการเหล่านี้ยอมให้โพลีโนเมียลที่จัดให้มีตัวแปรสัญลักษณ์เดียวกัน แต่การดำเนินการเลช่นตรีโกณมิติ ล็อกการิธึมไม่สามารถใช้ได้)